Question

【题目】已知两点A（0，﹣1），B（0，1），直线PA，PB相交于点P，且它们的斜率之积是，记点P轨迹为C.

（1）求曲线C的轨迹方程；

（2）直线l与曲线C交于M，N两点，若|AM|＝|AN|，求直线l的斜率k的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设，由利用斜率公式，得到关系式，整理即可求出结论；

（2）斜率显然成立，当设直线方程为与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，由，得出关于的不等量关系，运用根与系数关系求出坐标关系，进而求出中点坐标，，可得，求出关系，代入的不等量关系式，即可求出结论.

（1）设点P（x，y），则kPA，kPB，

则有，整理得，

即曲线C的轨迹方程为；

（2）当直线斜率不存在时，显然不符，

故设直线方程为，代入，

整理得，

由已知条件可知，

即，①.

设，记的中点为，

则，

所以，， ②

由，得，所以， ③

将②代入③化简得，即， ④

将④代入①得，即，

得且，经检验，当时，也成立，

故的取值范围为.