Question

（2013•昌平区二模）已知函数f（x）=

1

2

x2-alnx(a＞0)．
（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值；
（III）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=2代入可得f′（1）=-1，f（1）=

1

2

，进而可得方程，化为一般式即可；
（Ⅱ）可得x=

a

为函数的临界点，分

a

≤1，1＜

a

＜e，

a

≥e，三种情形来讨论，可得最值；
（III）由（II）可知当0＜a≤1或a≥e²时，不合题意，当1＜a＜e²时，需

1 2 a(1-lna)＜0 f(1)= 1 2 ＞0 f(e)= 1 2 e2-a＞0

，解之可得a的范围．

解答：解：（I）当a=2时，f（x）=

1

2

x2-2lnx，f′（x）=x-

2

x

，
∴f′（1）=-1，f（1）=

1

2

，
故f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y-

1

2

=-（x-1）
化为一般式可得2x+2y-3=0…..（3分）
（Ⅱ）求导数可得f′（x）=x-

a

x

=

x2-a

x

由a＞0及定义域为（0，+∞），令f′（x）=0，解得x=

a

，
①若

a

≤1，即0＜a≤1，在（1，e）上，f′（x）＞0，f（x）在[1，e]上单调递增，
因此，f（x）在区间[1，e]的最小值为f（1）=

1

2

．
②若1＜

a

＜e，即1＜a＜e²，在（1，

a

）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
在（

a

，e）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，因此f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（

a

）=

1

2

a(1-lna)，
③若

a

≥e，即a≥e²在（1，e上，f′（x）＜0，f（x）在[1，e]上单调递减，
因此，f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（e）=

1

2

e2-a．
综上，当0＜a≤1时，f_min（x）=

1

2

；当1＜a＜e²时，f_min（x）=

1

2

a(1-lna)；
当a≥e²时，f_min（x）=

1

2

e2-a．…．（9分）
（III） 由（II）可知当0＜a≤1或a≥e²时，f（x）在（1，e）上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．
当1＜a＜e²时，要使f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，则

1 2 a(1-lna)＜0 f(1)= 1 2 ＞0 f(e)= 1 2 e2-a＞0

 即

a＞e a＜ 1 2 e2

，此时，e＜a＜

1

2

e2．
所以，a的取值范围为（e，

1

2

e2）…..（13分）

点评：本题考查利用导数研究函数的切线，涉及函数的零点和闭区间的最值，属中档题．