Question

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期，并求其单调递增区间；
（Ⅱ）当时，求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）的解析式为2sin（+2x）+2，从而求出函数的最小正周期，再令2kπ-≤+2x≤2kπ+，k∈z，求出x的范围，即可求得函数的单调增区间．
（Ⅱ）当时，求出+2x的范围，可得sin（+2x） 的范围，从而求得2sin（+2x）+2的范围，即为所求．
解答：解：（Ⅰ）∵函数=cos2x+sin2x+2
=2sin（+2x）+2，
故它的最小正周期等于 =π．
令 2kπ-≤+2x≤2kπ+，k∈z，可得kπ-≤x≤kπ+，k∈z，
故函数的单调增区间．
（Ⅱ）当时，+2x∈[，]，sin（+2x）∈[-，1]，
2sin（+2x）+2∈[1，4]，
故函数的值域为[1，4]．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的单调性、周期性、定义域和值域，属于中档题．