Question

已知函数f（x）=ln（x+a）+x²，x=-1是f（x）的极值点，
（I）求a的值；
（II）并求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（I）先求函数的导数，再根据函数在x=0处取得极值，则此处的导数值为0，求得a=1，
（II）先求导数，令其为0，解出x，列出f′（x），f（x）的关系表格，即可得到答案．

解答：解：（I）f′(x)=

1

x+a

+2x
因为x=-1是f（x）的极值点，
所以f′(-1)=

1

-1+a

-2=0
所以a=

3

2

（II）由（I）得f′(x)=

2

2x+3

+2x(x＞-

3

2

)
令f^′（x）=0，得x=-1或x=-

1

2

x	(- 3 2 ，-1)	-1	(-1，- 1 2 )	- 1 2	(- 1 2 ，+∞)
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）		极大值		极小值

所以f（x）的单调增区间是：(-

3

2

，-1)，(-

1

2

，+∞)；单调增区间是：(-1，-

1

2

)．

点评：本题主要考查利用求导研究函数的单调性，解题的关键是弄清函数在某点取得极值的条件，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．