Question

（本小题满分14分）

设椭圆E: =1（a,b>0）过M（2，），N(,1)两点，O为坐标原点，

（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在圆心的原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

Answer 1

（I）=1. （II）

解析:

（I）∵椭圆E: =1（a,b>0）过M（2，），N(,1)两点，

∴,解得,所以椭圆E的方程为=1.

（II）假设存在该圆，满足条件，则要使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点，

只该圆在椭圆内部,设该圆的方程为,则

当直线AB的斜率存在时，设该圆的切线方程为,解方程组得,即,则△=,即,,

要使,需使,

即,所以,所以,又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,

又

，

当是，，当时，，

当时，故,当不存在时,,

综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,且的取值范围是.