Question

（本小题满分12分）

已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最大距离为3.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）已知圆,直线.试证明：当点在椭圆上运动时，直线与圆恒相交，并求直线被圆所截得弦长的取值范围.

（Ⅲ）设直线与椭圆交于两点，若直线交轴于点，且，当变化时，求 的值；   

Answer 1

解:（Ⅰ）由得，所以直线过定点（1，0），即.  

 设椭圆的方程为,

则,解得_，所以椭圆的方程为.  …………3分

（Ⅱ）因为点在椭圆上运动,所以，     

从而圆心到直线的距离

所以直线与圆恒相交.                             ……………………5分

又直线被圆截得的弦长

，       …………6分

由于,所以,则,

即直线被圆截得的弦长的取值范围是.  …………………7分

（3）设

      

                                     …………………………9分

       又由

                同理 ………………………………11分

             ………………………12分