Question

已知椭圆方程为C：=1，它的左、右焦点分别为F₁、F₂．点P（x，y）为第一象限内的点．直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．
（1）求椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角；
（2）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂．试找出使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k_OA、k_OB、k_OC、k_OD满足k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0成立的条件（用k₁、k₂表示）．
（3）又已知点E为抛物线y²=2px（p＞0）上一点，直线F₂E与椭圆C的交点G在y轴的左侧，且满足，求p的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆的定义，结合余弦定理、基本不等式，即可求得椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角；
（2）设出A，B，C，D的坐标，联立直线PF₁和椭圆的方程根据韦达定理表示出x_A+x_B和x_Ax_B，进而可求得直线OA，OB斜率的和与CO，OD斜率的和，由k_OA+k_）B+k_OC+k_OD=0推断出k₁+k₂=0或k₁k₂=1；
（3）设出G的坐标，可得E的坐标，利用E在抛物线上，可得p的函数，换元，利用基本不等，即可得到结论．
解答：解：（1）由题意，设椭圆上的点与两焦点连线的距离为m，n，夹角为α，则m+n=
∴cosα==-1
∵m+n=≥
∴0＜mn≤2
∴-1≥0
∴cosα≥0
∴当m=n时，椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角为90°；
（2）设直线PF₁、PF₂的方程分别为y=k₁（x+1），y=k₂（x-1），A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C），D（x_D，y_D），
联立直线PF₁和椭圆的方程化简得（2k₁²+1）x²+4k₁²x+2k₁²-2=0，
因此x_A+x_B=-，x_Ax_B=，所以k_OA+k_OB=+=-
同理可得：k_OC+k_OD=-，
故由k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0得k₁+k₂=0或k₁k₂=1；
（3）F₂（1，0），设G（x，y），（），则
∵，∴x_E=，y_E=，
∵E为抛物线y²=2px（p＞0）上一点，
∴
∵
∴12p=
令t=x+2，则
∴12p=-（-4）≤-（2-4），∴p≤，当且仅当t=时，取等号
∴时，p的最大值为．
点评：本题考查椭圆的定义，考查余弦定理、考查基本不等式的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．