Question

设F₁、F₂分别为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右焦点，c=

a2-b2

，若直线x=

a2

c

上存在点P，使线段PF₁的中垂线过点F₂，则椭圆离心率的取值范围是（　　）

• A．（0，

  2

  2

  ]
• B．（0，

  3

  3

  ]
• C．[

  2

  2

  ，1）
• D．[

  3

  3

  ，1）

Answer 1

分析：根据题意，设P的坐标为（

a2

c

，y），进而可得PF₁的中点Q的坐标，结合题意，线段PF₁的中垂线过点F2，可得y与b、c的关系，又由y²的范围，计算可得答案．

解答：解：由已知P（

a2

c

，y），所以PF₁的中点Q的坐标为（

b2

2c

，

1

2

y  ），
由kPF1=

cy

a2+c2

，KQF2=

yc

b2-2c2

由题意可得，

cy

a2-c2

•

cy

a2-3c2

=-1
整理可得，y2=

(3c2-a2)(a2-c2)

c2

=(a2-c2)(3-

1

e2

)＞0
∴

3

3

＜e＜1
当KPF1=0时，KQF2不存在，
此时F₂为中点，

a2

c

-c=2c
∴e=

3

3

a2 c-c=2c⇒e=3  3．
综上得 

3

3

≤e＜1．
故选D．

点评：本题考查椭圆的性质的应用，要牢记椭圆的有关参数，如a、b、c之间的关系．