题目内容

已知正方体ABCD-EFGH的棱长为1，若P点在正方体的内部且满足
AP
=
3
4
AB
+
1
2
AD
+
2
3
AE
，则P点到直线AB的距离为（　　）
分析：分别以AB、AD、AE为x轴、y轴、z轴作出空间直角坐标系，可得向量
AB
和
AP
的坐标，可以分别计算出它们的长度．然后根据向量数量积的坐标公式得到
AB
•
AP
=
3
4
，再用向量的夹角公式得到cos∠PAB=
AB
•
AP
|AB|
•
|AP|
=
181
12
，结合同角三角函数的关系得到sin∠PAB=
10
181
，最后可求出P点到直线AB的距离为
|AP|
•sin∠PAB=
5
6
．
解答：解：分别以AB、AD、AE为x轴、y轴、z轴作出空间直角坐标系如图
∵正方体ABCD-EFGH的棱长为1
∴
AB
=(1，0，0)
∵
AP
=
3
4
AB
+
1
2
AD
+
2
3
AE

∴
AP
=(
3
4
，
1
2
，
2
3
)
可得
|AP|
=
(
3
4
)2+(
1
2
)2+(
2
3
)2  
=
181
12

∵
AB
•
AP
=1×
3
4
+0×
1
2
+0×
2
3
=
3
4

AB
•
AP
=
|AB|
•
|AP|
cos∠PAB
∴cos∠PAB=
AB
•
AP
|AB|
•
|AP|
=
3
4
1×
181
12
=
9
181

根据同角三角函数关系，得sin∠PAB=
1-cos2∠PAB
=
10
181

∴P点到直线AB的距离为
|AP|
sin∠PAB=
181
12
•
10
181
=
5
6

故选A
点评：本题以正方体中的向量为载体，着重考查了空间向量的数量积、长度公式和夹角公式的应用等知识，属于基础题．
练习册系列答案
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如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P在平面DD1C1C内，PD1=PC1=
2
．求证：
（1）平面PD1A1⊥平面D1A1BC；
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（1）当E恰为棱CC1的中点时，试证明：平面A1BD⊥平面EBD；
（2）在棱CC1上是否存在一个点E，可以使二面角A1-BD-E的大小为45°？如果存在，试确定点E在棱CC1上的位置；如果不存在，请说明理由．
已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则四面体A1-C1BD在面A1B1C1D1上的正投影的面积与该四面体表面积之比是
3
6
3
6
．
精英家教网已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．
（1）求证：C1O∥面AB1D1；
（2）求异面直线AD1与 C1O所成角的大小．

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