Question

已知实数a，b，c满足a+2b-c=1，则a²+b²+c²的最小值是

1

6

．

Answer 1

分析：利用条件a+2b-c=1，构造柯西不等式（a+2b-c）²≤（1²+2²+1²）（a²+b²+c²）进行解题即可．

解答：解：由柯西不等式得（a+2b-c）²≤（1²+2²+1²）（a²+b²+c²），
∵a+2b-c=1，
∴1≤（1²+2²+1²）（a²+b²+c²），
∴a2+b2+c2≥

1

6

，
当且仅当

a

1

=

b

2

=

c

1

取等号，
则a²+b²+c²的最小值是

1

6

故答案为：

1

6

．

点评：本题主要考查了函数的值域，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用（a+2b-c）²≤（1²+2²+1²）（a²+b²+c²），进行解题，属于中档题．