Question

6．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-（1+2a）x+$\frac{4a+1}{2}$ln（2x+1），a＞0，讨论函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 求得f′（x）=$\frac{（2x-1）（x-2a）}{2x+1}$，通过比较2a与$\frac{1}{2}$的大小，分类讨论，利用函数单调性与极值之间的关系即可求得函数f（x）的单调区间．

解答 解：函数f（x）的定义域是（-$\frac{1}{2}$，+∞）；
f′（x）=x-（1+2a）+$\frac{4a+1}{2x+1}$=$\frac{（2x+1）（x-1-2）+4a+1}{2x+1}$=$\frac{（2x-1）（x-2a）}{2x+1}$，
令f′（x）=0，则x=$\frac{1}{2}$或x=2a，
①当2a＞$\frac{1}{2}$，即a＞$\frac{1}{4}$时，

x	（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，2a）	2a	（2a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↙		↗

所以f（x）的增区间为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）和（2a，+∞），减区间为（$\frac{1}{2}$，2a）；
②当2a=$\frac{1}{2}$，即a=$\frac{1}{4}$时，f'（x）=$\frac{{（2x-1）}^{2}}{2x+1}$≥0在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，
所以f（x）的增区间为（-$\frac{1}{2}$，+∞）；
③当0＜2a＜$\frac{1}{2}$，即0＜a＜$\frac{1}{4}$时：

x	（-$\frac{1}{2}$，2a）	2a	（2a，$\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↙		↗

所以f（x）的增区间为（-$\frac{1}{2}$，2a）和（$\frac{1}{2}$，+∞），减区间为（2a，$\frac{1}{2}$）；
综上述：0＜a＜$\frac{1}{4}$时，f（x）的增区间为（-$\frac{1}{2}$，2a）和（$\frac{1}{2}$，+∞），减区间为（2a，$\frac{1}{2}$），
a=$\frac{1}{4}$时，f（x）的增区间为（-$\frac{1}{2}$，+∞）a＞$\frac{1}{4}$时，f（x）的增区间为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）和（2a，+∞），减区间为（$\frac{1}{2}$，2a）．

点评 本题考查利用导数研究函数的极值与单调性，着重考查求函数极值的基本步骤，突出化归思想与分类讨论思想的考查，属于中档题．