题目内容

设数列{a_n}的首项a₁∈（0，1），a_n= $数学公式$ ，n=2，3，4…
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设 $数学公式$ ，求证b_n＜b_n+1，其中n为正整数．

解：（1）由 $\text{[math]}$ ，
整理得 $\text{[math]}$ ．
又1-a₁≠0，所以{1-a_n}是首项为1-a₁，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，得 $\text{[math]}$
（2）方法一：
由（1）可知 $\text{[math]}$ ，故b_n＞0．
那么，b_n+1²-b_n²=a_n+1²（3-2a_n+1）-a_n²（3-2a_n）
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
又由（1）知a_n＞0且a_n≠1，故b_n+1²-b_n²＞0，
因此b_n＜b_n+1，n为正整数．
方法二：
由（1）可知 $\text{[math]}$ ，
因为 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ．
由a_n≠1可得 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$
两边开平方得 $\text{[math]}$ ．
即b_n＜b_n+1，n为正整数．
分析：（1）由题条件知 $\text{[math]}$ ，所以{1-a_n}是首项为1-a₁，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，由此可知 $\text{[math]}$
（2）方法一：由题设条件知 $\text{[math]}$ ，故b_n＞0．那么，b_n+1²-b_n²=a_n+1²（3-2a_n+1）-a_n²（3-2a_n）= $\text{[math]}$ 由此可知b_n＜b_n+1，n为正整数．
方法二：由题设条件知 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．由此可知b_n＜b_n+1，n为正整数．
点评：本题考查数列的综合应用，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．