题目内容
已知在平面直角坐标系xOy中，△AOB三个顶点的直角坐标分别为A（4，3），O（0，0），B（b，0）．（1）若b=5，求cos2A的值；
（2）若△AOB为锐角三角形，求b的取值范围．
分析：（1）法一：由题意义可得，要求cos2A，可先求 cosA，而A可以看成
与
的夹角，代入向量夹角公式
cosA=
=
，然后利用二倍角公式可求cos2A
（法二）由题可得A=B，cos2A=cos（∠A+∠B）=cos（π-∠AOB），利用诱导公式进行化简可求
（2）由△AOB为锐角三角形可得A，B，O都为锐角，由∠A为锐角可得
•
＞0
•
＞0，
由∠B为锐角可得，
•
＞0由∠O为锐角可得，
•
＞0，代入整理即可求
| AO |
| AB |
cosA=
| ||||
|
|
| ||
| 10 |
（法二）由题可得A=B，cos2A=cos（∠A+∠B）=cos（π-∠AOB），利用诱导公式进行化简可求
（2）由△AOB为锐角三角形可得A，B，O都为锐角，由∠A为锐角可得
| AO |
| AB |
| OA |
| OB |
由∠B为锐角可得，
| BA |
| BO |
| OA |
| OB |
解答：解：（1）
=(-4，-3)，
=(b-4，-3)，
若b=5，则
=(1，-3)
所以，cosA=
=
所以，cos2A=2cos2A-1=-
（法二）cos2A=cos（∠A+∠B）=cos（π-∠AOB）=-cos∠AOB=-
（2）若∠A为锐角，则
•
＞0，即-4b+16+9＞0，得b＜
若∠B为锐角，则
•
＞0，即-b（4-b）＞0，得b＜0或b＞4
若∠O为锐角，则
•
＞0，即4b＞0，得b＞0综上所述，b∈(4，
)
【解二】用平面几何或解析几何的方法同样给分．
| AO |
| AB |
若b=5，则
| AB |
所以，cosA=
| ||||
|
|
| ||
| 10 |
所以，cos2A=2cos2A-1=-
| 4 |
| 5 |
（法二）cos2A=cos（∠A+∠B）=cos（π-∠AOB）=-cos∠AOB=-
| 4 |
| 5 |
（2）若∠A为锐角，则
| AO |
| AB |
| 25 |
| 4 |
若∠B为锐角，则
| BA |
| BO |
若∠O为锐角，则
| OA |
| OB |
| 25 |
| 4 |
【解二】用平面几何或解析几何的方法同样给分．
点评：本题主要考查了向量夹角公式的应用，二倍角公式的运用，向量的数量积的符号在判断角的范围中的应用．
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