Question

已知在平面直角坐标系xOy中，△AOB三个顶点的直角坐标分别为A（4，3），O（0，0），B（b，0）．
（1）若b=5，求cos2A的值；
（2）若△AOB为锐角三角形，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）法一：由题意义可得，要求cos2A，可先求 cosA，而A可以看成

AO

与

AB

的夹角，代入向量夹角公式
cosA=

AO • AB

| AO |•| AB |

=

10

10

，然后利用二倍角公式可求cos2A
（法二）由题可得A=B，cos2A=cos（∠A+∠B）=cos（π-∠AOB），利用诱导公式进行化简可求
（2）由△AOB为锐角三角形可得A，B，O都为锐角，由∠A为锐角可得

AO

•

AB

＞0

OA

•

OB

＞0，
由∠B为锐角可得，

BA

•

BO

＞0由∠O为锐角可得，

OA

•

OB

＞0，代入整理即可求

解答：解：（1）

AO

=(-4，-3)，

AB

=(b-4，-3)，
若b=5，则

AB

=(1，-3)
所以，cosA=

AO • AB

| AO |•| AB |

=

10

10

所以，cos2A=2cos2A-1=-

4

5

（法二）cos2A=cos（∠A+∠B）=cos（π-∠AOB）=-cos∠AOB=-

4

5

（2）若∠A为锐角，则

AO

•

AB

＞0，即-4b+16+9＞0，得b＜

25

4

若∠B为锐角，则

BA

•

BO

＞0，即-b（4-b）＞0，得b＜0或b＞4
若∠O为锐角，则

OA

•

OB

＞0，即4b＞0，得b＞0综上所述，b∈(4，

25

4

)
【解二】用平面几何或解析几何的方法同样给分．

点评：本题主要考查了向量夹角公式的应用，二倍角公式的运用，向量的数量积的符号在判断角的范围中的应用．