Question

如图，在以点P为圆心，C为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB=30°，曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P．
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F．若△OEF的面积等于2

2

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）以O为原点，AB，OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，可知曲线C是以原点为中心，A，B为焦点的双曲线，求出a．b值后，可得曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，联立双曲线方程，由韦达定理，及△OEF的面积等于2

2

，求出k值，可得直线l的方程．

解答：解：（I）以O为原点，AB，OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，
则A（-2，0），B（2，0），D(0，2)，P(

3

，1)，
依题意得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|=

(2+ 3 )2+12

-

(2- 3 )2+12

=2

2

＜|AB|=4
∴曲线C是以原点为中心，A，B为焦点的双曲线．
设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，
则c=2，2a=2

2

⇒a²=2，b²=c²-a²=2，
∴曲线C的方程为

x2

2

-

y2

2

=1．
（II）依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1-k²）x²-4kx-6=0．
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E，F，
∴

1-k2≠0 △=(-4k)2+4×6(1-k)2＞0

?

k≠±1 - 3 ＜k＜ 3

∴k∈(-

3

，-1)∪(-1，1)∪(1，

3

)．
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则由①式得x1+x2=

4k

1-k2

，x1x2=

6

1-k2

，
于是|EF|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)(x1-x2)2

=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

2 2 3-k2

|1-k2|

而原点O到直线l的距离d=

2

1+k2

，
∴S△OEF=

1

2

d•|EF|=

1

2

•

2

1+k2

•

1+k2

•

2 2 3-k2

|1-k2|

=

2 2 3-k2

|1-k2|

．
若S△OEF=2

2

，即

2 2 3-k2

|1-k2|

=2

2

?k4-k2-2=0，
解得k=±

2

，
故直线l的方程为y=±

2

x+2，

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的轨迹问题，解答（I）的关键是建立适当的坐标系，解答（II）的关键是“联立方程+设而不求+韦达定理”三架马车．