Question

已知函数f(x)=1+

1

x-1

，g(x)=f(2|x|)．
（1）判断函数f（x）和g（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）证明函数g（x）在（-∞，0）上为增函数；
（3）若关于x关于的不等式g(x)＜

m

m+1

在x∈（1，+∞）时恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠1}，知函数f（x）为非奇非偶函数，再由g（-x）=-g（x），知g（x）为偶函数．
（2）设x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，利用定义法能够证明函数g （x）在（-∞，0）上为增函数．
（3）由（1）（2），知函数在（1，+∞）上单调递减，故g（x）＜g（1）=2，由此能求出m的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠1}，
∴函数f（x）为非奇非偶函数，
又∵g(x)=f(2|x|)=1+

1

2|x|-1

，
∴函数g（x）的定义域{x|x∈R且x≠0}，
且g(-x)=1+

1

2|-x|-1

=1+

1

2|x|-1

=g(x)，
所以g（x）为偶函数．
（2）设x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
g(x1)-g(x2)=

1

2|x1|-1

-

1

2|x2|-1

=

2|x2|-2|x1|

(2|x1|-1)(2|x2|-1)

，
∵x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
∴|x₁|＞|x₂|＞0
∴2|x1|＞2|x2|，2|x2|-2|x1|＜0，2|x1|-1＞0，2|x2|-1＞0
所以g（x₁）＜g（x₂），所以函数g （x）在（-∞，0）上为增函数．
（3）由（1）（2），知函数在（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）＜g（1）=2，
∵不等式g(x)＜

m

m+1

在x∈（1，+∞）时恒成立，
∴

m

m+1

≥2，解得-2≤m＜-1．
所以m的取值范围是{m|-2≤m＜-1}．

点评：本题考查函数奇偶性的判断，考查函数单调性的证明，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．