Question

【题目】已知椭圆的离心率为为其左、右顶点，为椭圆上除外任意一点，若记直线的斜率分别为

（1）求证:为定值；

（2）若椭圆的长轴长为，过点作两条互相垂直的直线，，若恰好为与椭圆相交的弦的中点，设为与椭圆相交的弦的中点，求线段的长.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）首先设，，，得到，.再计算即可.

（2）首先根据长轴长为求出椭圆的标准方程，利用点差法可求出的斜率，因为，可求出的直线方程，再把和椭圆方程联立，利用韦达定理可求出点的坐标，再用两点之间距离公式即可求出线段的长.

（1）由题意，，设，

则，.

又在椭圆上，所以，

所以.

所以为定值.

因为，所以，

所以椭圆方程为.

设与椭圆交点为，与椭圆交点为，

则，两式相减得:

因为，，

所以

所以，即，

因为，所以.

所以直线的方程为:，即.

由，消去得.

所以，所以，.

即与椭圆相交的弦的中点的坐标为，

.

即线段的长为.