Question

已知圆：
（1）平面上有两点，求过点两点的直线被圆截得的弦长；
（2）已知过点的直线平分圆的周长，是直线上的动点，
并且，求的最小值．
(3) 若是轴上的动点，分别切圆于两点．
试问：直线是否恒过定点？如是，求出定点坐标，如不是，说明理由．

Answer 1

（1）4；（2）；（3）直线恒过定点.

第一问主要是利用两点坐标，求解出直线方程AB，然后联立方程组，得到弦长。
第二问中，由于直线平分圆的周长，说明了直线过圆心，则可以得到直线l的方程，然后结合均值不等式来求解最值
第三问中，要判定直线是否恒过定点，关键是求解直线MN的方程即可。
解：（1）因为直线经过两点，从而直线的方程为
进而令中的得或
故此直线被圆截得的弦长为.               ……  3分
(2) 因为圆的圆心为, 又直线过点，
所以直线的方程是:
而在直线上, 所以有:    也即有
 ， 进而有： 
故当，即时，又,
从而时取得最小值
(3) 由知在以为直径的圆上。
设，则以为直径的圆的方程为：.
即 
与圆：联立，消去得
。
故无论取何值时，直线恒过直线的交点，
即直线恒过定点……………12分