题目内容

数列{a_n}的前n项和为S_n，若数列{a_n}的各项按如下规律排列： $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ …， $数学公式$ ， $数学公式$ ，…， $数学公式$ ，…有如下运算和结论：
①a₂₄= $数学公式$ ；
②数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等比数列；
③数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…的前n项和为T_n= $数学公式$ ；
④若存在正整数k，使S_k＜10，S_k+1≥10，则a_k= $数学公式$ ．
其中正确的结论是________．（将你认为正确的结论序号都填上）

①③④
分析：①前24项构成的数列是： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，故a₂₄= $\text{[math]}$ ；
②数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是 $\text{[math]}$ ，1， $\text{[math]}$ ，2，… $\text{[math]}$ ，由等差数列定义知：数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等差数列；
③数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等差数列，所以由等差数列前n项和公式可知：Tn= $\text{[math]}$ ；
④由③知S_k＜10，S_k+1≥10，即： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，故a_k= $\text{[math]}$ ．
解答：①前24项构成的数列是： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴a₂₄= $\text{[math]}$ ，故①正确；
②数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是 $\text{[math]}$ ，1， $\text{[math]}$ ，2，… $\text{[math]}$ ，
由等差数列定义 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （常数）
所以数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等差数列，故②不正确．
③∵数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等差数列，
所以由等差数列前n项和公式可知：Tn= $\text{[math]}$ ，故③正确；
④由③知S_k＜10，S_k+1≥10，
即： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，∴k=7，a_k= $\text{[math]}$ ．故④正确．
故答案为：①③④．
点评：本题主要考查探究数列的规律，转化数列，构造数列来研究相应数列通项和前n项和问题，这种题难度较大，必须从具体到一般地静心研究，再推广到一般得到结论．