Question

某旅游景点2010年利润为100万元，因市场竞争，若不开发新项目，预测从2011年起每年利润比上一年减少4万元．2011年初，该景点一次性投入90万元开发新项目，预测在未扣除开发所投入资金的情况下，第n年（n为正整数，2011年为第1年）的利润为100（1+

1

3n

）万元．
（1）设从2011年起的前n年，该景点不开发新项目的累计利润为A_n万元，开发新项目的累计利润为B_n万元（须扣除开发所投入资金），求A_n、B_n的表达式；
（2）依上述预测，该景点从第几年开始，开发新项目的累计利润超过不开发新项目的累计利润？

Answer 1

分析：（1）根据题意得，A_n是首项为96，公差为-4的等差数列的前n项和；B_n是数列{100(1+

1

3n

)}的前n项和与90的差；故可以求出A_n，B_n；
（2）由（1）知，求出B_n-A_n的表达式，可判断B_n-A_n是数集N^*上的单调递增数列，且有：B₄-A₄＜0，B₅-A₅＞0，得出结论．

解答：解：（1）依题意，知A_n是首项为100-4=96，公差为-4的等差数列的前n项和，
所以，A_n=96n+

n(n-1)×(-4)

2

=98n-2n²；
数列{100(1+

1

3n

)}的前n项和为：100n+

100

3

×

1- 1 3n

1- 1 3

=100n+50(1-

1

3n

)，
∴B_n=100n+50(1-

1

3n

)-90=100n-40-

50

3n

；
（2）由（1）得，B_n-A_n=(100n-40-

50

3n

)-（98n-2n²）=2n+2n²-40-

50

3n

，
B_n-A_n是数集N^*上的单调递增数列，
观察并计算知：B₄-A₄=-

50

81

＜0，B₅-A₅=20-

50

243

＞0，
所以从第5年开始，开发新项目的累计利润超过不开发新项目的累计利润．

点评：本题考查了等差数列，等比数列的概念以及前n项和公式的综合应用，在数列求和时，需要认真审题，仔细解答．