Question

如图，⊙O₁和⊙O₂公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO₁与⊙O₁与E、G两点，直线DO₂交⊙O₂与F、H两点．
（1）求证：△DEF～△DHG；
（2）若⊙O₁和⊙O₂的半径之比为9：16，求的值．

Answer 1

解：（1）证明：∵AD是两圆的公切线，
∴AD²=DE×DG，AD²=DF×DH，
∴DE×DG=DF×DH，
∴，
又∵∠EDF=∠HDG，
∴△DEF∽△DHG．（4分）
（2）连接O₁A，O₂A，
∵AD是两圆的公切线，
∴O₁A⊥AD，O₂A⊥AD，
∴O₁O₂共线，
∵AD和BC是⊙O₁和⊙O₂公切线，DG平分∠ADB，DH平分∠ADC，
∴DG⊥DH，∴AD²=O₁A×O₂A，（8分）
设⊙O₁和⊙O₂的半径分别为9x和16x，则AD=12x，
∵AD²=DE×DG，AD²=DF×DH，
∴144x²=DE（DE+18x），144x²=DF（DF+32x）
∴DE=6x，DF=4x，∴．（10分）
分析：（1）欲求证：△DEF～△DHG，根据AD是两圆的公切线得出线段的乘积式相等，再转化成比例式相等，最后结合角相等即得；
（2）连接O₁A，O₂A，AD是两圆的公切线结合角平分线得到：AD²=O₁A×O₂A，设⊙O₁和⊙O₂的半径分别为9x和16x，利用AD²=DE×DG，AD²=DF×DH，分别用x表示出DE和DF，最后算出即可．
点评：本题主要考查了圆的切线的性质定理的证明、相似三角形的判定，考查计算能力和逻辑推理能力．