题目内容
若函数f(x)=
，在定义域上是奇函数且f（1）=3，
（1）求a，b的值，写出f（x）的表达式；
（2）判断f（x）在[1，+∞）上的单调性，并加以证明．
| ax2+1 |
| x+b |
（1）求a，b的值，写出f（x）的表达式；
（2）判断f（x）在[1，+∞）上的单调性，并加以证明．
（1）∵f(x)=
，在定义域上是奇函数且f（1）=3，
∴f（-1）=-3
∴
解得a=2，b=0
∴f(x)=
（2）函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，理由如下：
∵f′(x)=
=2-
∵x∈[1，+∞）时，
＜1，f′（x）＞0
故函数f（x）在[1，+∞）上单调递增
| ax2+1 |
| x+b |
∴f（-1）=-3
∴
|
解得a=2，b=0
∴f(x)=
| 2x2+1 |
| x |
（2）函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，理由如下：
∵f′(x)=
| 2x2-1 |
| x2 |
| 1 |
| x2 |
∵x∈[1，+∞）时，
| 1 |
| x2 |
故函数f（x）在[1，+∞）上单调递增
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