Question

已知奇函数f（x）=ax³+bx²+cx+d满足：f'（1）=0，f(1)=-

2

3

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直；
（Ⅲ）若对于任意实数α和β，不等式|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立，求m的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据f（x）为奇函数，可得b=d=0，求导函数，利用f'（1）=0，f(1)=-

2

3

，即可求得函数解析式；
（Ⅱ）设任意两数x₁，x₂∈[-1，1]是函数f（x）图象上两点的横坐标，求出这两点的切线的斜率，证明斜率之积k₁k₂≠-1即可；
（Ⅲ）|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立，等价于|f（x）|_max-|f（x）|_min≤m，由于-2≤2sinα≤2，-2≤2sinβ≤2，只需求出f(x)=

1

3

x3-x在[-2，2]上的最值，即可求得m的最小值．

解答：（Ⅰ）解：因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x），所以b=d=0，
所以f（x）=ax³+cx，求导函数，可得f′（x）=3ax²+c
由f'（1）=0，得3a+c=0，由f(1)=-

2

3

，得a+c=-

2

3

解之得：a=

1

3

，c=-1
从而，函数解析式为：f(x)=

1

3

x3-x
（Ⅱ）证明：由于f'（x）=x²-1，设任意两数x₁，x₂∈[-1，1]是函数f（x）图象上两点的横坐标，则这两点的切线的斜率分别是：k1=f′(x1)=

x

2 1

-1，k2=f′(x2)=

x

2 2

-1
又因为-1≤x₁≤1，-1≤x₂≤1，所以k₁≤0，k₂≤0，得：k₁k₂≥0，知k₁k₂≠-1
故当x∈[-1，1]时，函数f（x）图象上任意两点的切线不可能垂直
（Ⅲ）解：|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立，等价于|f（x）|_max-|f（x）|_min≤m
由于-2≤2sinα≤2，-2≤2sinβ≤2，∴只需求出f(x)=

1

3

x3-x在[-2，2]上的最值
而f'（x）=x²-1，由f'（x）=0解得x=±1
列表如下：

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	- 2 3	递增	2 3	递减	- 2 3	递增	2 3

∴f(x)max=

2

3

，f(x)min=-

2

3

，
∴|f(x)|max-|f(x)|min=

4

3

≤m，
∴m的最小值为

4

3

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，解题的关键是将|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立，转化为|f（x）|_max-|f（x）|_min≤m．