Question

如图，正方形ABCD所在的平面与△CDE所在的平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=3，AB=6．
（1）求证：AB⊥平面ADE；
（2）求E到正方形ABCD所在平面的距离．

Answer 1

分析：（1）根据AE⊥平面CDE，得AE⊥CD，结合AD⊥CD得CD⊥平面ADE，再由AB∥CD，可得AB⊥平面ADE；
（2）过E作EO⊥AD于O，根据面面垂直的性质，得EO⊥平面ABCD，OE长即为E到正方形ABCD所在平面的距离．结合已知数据在Rt△ADE中，求出斜边AD上的高，即得OE的长．

解答：解：（1）∵AE⊥平面CDE，CD⊆平面CDE，∴AE⊥CD，
又∵ABCD为正方形，∴AD⊥CD，
∵AE∩AD=A，∴CD⊥平面ADE，
又∵AB∥CD，
∴AB⊥平面ADE．…（6分）
（2）由（1）得，AB⊥平面ADE，
又∵AB⊆平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE．
过E作EO⊥AD于O，则EO⊥平面ABCD．
在Rt△ADE中，AE=3，AD=6，可得DE=3

3

，
∴EO=

AE•ED

AD

=

3×3 3

6

=

3 3

2

．
即点E到正方形ABCD所在平面的距离为

3 3

2

．…（12分）

点评：本题给出直角三角形与正方形所在平面互相垂直，求证线面垂直并且求点到平面的距离，着重考查了空间线面垂直的判定与性质，直角三角形中求斜边上的高等知识，属于中档题．