Question

已知函数f（x）=

(1-3a)x+10a(x≤6) ax-7              (x＞6)

，若数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^*），且{a_n}是递减数列，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（

  1

  3

  ，1）
• B、（

  1

  3

  ，

  1

  2

  ）
• C、[

  1

  4

  ，

  1

  3

  ）．
• D、（

  5

  8

  ，1）

Answer 1

分析：根据{a_n}是递减数列，判断函数的单调性，然后利用分段函数的单调性满足的条件即可求出a的取值范围．

解答：解：∵数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^*），且{a_n}是递减数列，
∴函数f（x）是递减函数，
即满足条件

1-3a＜0 0＜a＜1 f(6)≥a6-7

，
即

a＜ 1 3 0＜a＜1 6-18a+10a≥ 1 a

，
∴

0＜a＜ 1 3 8a2-6a+1≤0

，
即

0＜a＜ 1 3 (2a-1)(4a-1)≤0

，
∴

0＜a＜ 1 3 1 4 ≤a≤ 1 2

，
∴

1

4

≤a＜

1

3

，
故数a的取值范围是[

1

4

，

1

3

）．
故选：C

点评：本题主要考查分段函数单调性的判断和求解，根据数列的单调性判断函数的单调性是解决本题的关键．