Question

（2012•德州一模）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n+2n=2a_n．
（I）证明：数列{a_n+2}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+2），求数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由S_n+2n=2a_n，得S_n=2a_n-2n，由此利用构造法能够证明数列{a_n+2}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式a_n．
（Ⅱ）由an=2n+1-2，得

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用错位相减法能够求出数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

解答：（I）证明：由S_n+2n=2a_n，得S_n=2a_n-2n，
当n∈N^*时，S_n=2a_n-2n，①
当n=1时，S₁=2a₁-2，则a₁=2，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1），②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，
即a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2），
∴

an+2

an-1+2

=2，
∴{a_n+2}是以a₁+2为首项，以2为公比的等比数列．
∴an+2=4•2n-1，
∴an=2n+1-2．
（Ⅱ）解：∵an=2n+1-2，
∴b_n=n（n+1），
∴

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Tn=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，注意构造法和错位相减法的合理运用．