Question

（2011•东城区二模）已知函数f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）求f（x）在[1，e]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证函数在（1，+∞）上是增函数，只需要证明其导数大于0即可；
（Ⅱ）求导函数先研究函数的单调性，确定极值，从而确定函数的最值，分类讨论是解题的关键．

解答：证明：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x²-2lnx，
当x∈（1，+∞）时，f′(x)=

2(x2-1)

x

＞0，
所以f（x）在（1，+∞）上是增函数．          （5分）
（Ⅱ）解：f′(x)=

2x2-a

x

(x＞0)，
当x∈[1，e]，2x²-a∈[2-a，2e²-a]．
若a≤2，则当x∈[1，e]时，f′（x）≥0，
所以f（x）在[1，e]上是增函数，
又f（1）=1，故函数f（x）在[1，e]上的最小值为1．
若a≥2e²，则当x∈[1，e]时，f′（x）≤0，
所以f（x）在[1，e]上是减函数，
又f（e）=e²-a，所以f（x）在[1，e]上的最小值为e²-a．
若2＜a＜2e²，则当1≤x＜

a 2

时，f′（x）＜0，此时f（x）是减函数；
当

a 2

＜x≤e时，f′（x）＞0，此时f（x）是增函数．
又f(

a 2

)=

a

2

-

a

2

ln

a

2

，
所以f（x）在[1，e]上的最小值为

a

2

-

a

2

ln

a

2

．
综上可知，当a≤2时，f（x）在[1，e]上的最小值为1；
当2＜a＜2e²时，f（x）在[1，e]上的最小值为

a

2

-

a

2

ln

a

2

；
当a≥2e²时，f（x）在[1，e]上的最小值为e²-a．（13分）

点评：本题以函数为载体，考查函数的单调性与函数的最值．利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′（x）＞0（或f′（x）＜0）仅是f（x）在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件．