Question

已知函数f(x)=x(

2

2x+1

+a)(a∈R)．
（1）求实数a使函数f（x）为偶函数？
（2）对于（1）中的a的值，求证：f（x）≤0恒成立．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，（-x）=f（x）对于任意的x都成立，代入可求a
（2）证明：当a=-1时，f（x）=x（

2

2x+1

-1），分（i）x=0时，f（x）=0，（ii）当x＞0时，f（x）＜0（iii）当x＜0时，f（x）＞0，综上可证

解答：解：（1）∵f(x)=x(

2

2x+1

+a)(a∈R)为偶函数
∴f（-x）=f（x）对于任意的x都成立
∴-x（

2

2-x+1

+a）=x（

2

2x+1

+a）
整理可得，（2+2a）•x=0对于任意x都成立
∴a=-1
（2）证明：当a=-1时，f（x）=x（

2

2x+1

-1）
（i）当x=0时，f（x）=0
（ii）当x＞0时，2^x+1＞2
∴

2

2x+1

-1＜0
∴f（x）＜0
（iii）当x＜0时，0＜2^x+1＜2
∴

2

2x+1

-1＞0
∴f（x）＜0
综上可得，f（x）≤0

点评：本题主要考查了函数的奇偶性的定义的应用，指数函数的性质在不等式的证明中的应用