Question

设函数f（x）=ln（x+a）+x²，
（Ⅰ）若当x=-1时f（x）取得极值，求a的值，并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于。

Answer 1

解：（Ⅰ），
依题意有，
从而，
f（x）的定义域为，
当时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0，
从而，f（x）分别在区间单调增加，在区间单调减少。
（Ⅱ）f（x）的定义域为，
方程，
（ⅰ）若△＜0，即，在f（x）的定义域内f′（x）＞0，故f（x）无极值；
（ⅱ）若△=0，则，
若，
当时，f′（x）=0，当时，f′（x）＞0，所以f（x）无极值；
若，f（x）也无极值；
（ⅲ）若△＞0，即，
则有两个不同的实根，
当，
从而f′（x）在f（x）的定义域内没有零点，故f（x）无极值；
当，
f′（x）在f（x）的定义域内有两个不同的零点，
由极值判别方法知f（x）在取得极值；
综上，f（x）存在极值时，a的取值范围为；
f（x）的极值之和为
。