Question

设函数f(x)=x²-1+cosx(a＞0)，
(1)当a=1时，证明：函数y=f(x)在(0，+∞)上是增函数；
(2)若y=f(x)在(0，+∞)上是单调增函数，求正数a的范围；
(3)在(1)的条件下，设数列{a_n}满足：0＜a₁＜1，且a_n+1=f(a_n)，求证：0＜a_n+1＜a_n＜1。

Answer 1

解：(1)当a=1时，，
恒成立，
∴y=g(x)在(0，+∞)上是增函数，g(x)＞g(0)=0，
即函数y=f(x)在(0，+∞)上是增函数；
(2)由，得h(x)=f′(x)=ax-sinx，
若y=f(x)在(0，+∞)上是单调增函数，则f′(x)=ax-sinx≥0恒成立，
当a≥1，恒有ax≥x≥sinx，此时f′(x)=ax-sinx≥0，
∴y=f(x)在(0，+∞)上是单调增函数；
当0＜a＜1时，h′(x)=a-cosx=0，得cosx=a，在上存在x₀，使得cosx₀=a；
当x∈(0，x₀)时，h′(x)=a-cosx＜0，h(x)在(0，x₀)上是减函数，
h(x)=f′(x)＜f′(0)=0，
这与，f′(x)=ax-sinx≥0恒成立矛盾，
∴a≥1；
(3)由(1)当0＜x＜1，0=f(0)＜f(x)＜f(1)=，
当0＜a₁＜1，a=f(a₁)∈(0，1)，
假设0＜a_k＜1，
则a_k+1=，
又，
∵，
∴，即，
∴。