Question

已知数列{a_n}满足3a_n+1+a_n=4（n∈N^*）且a₁=9，其前n项和为S_n，则满足不等式|S_n-n-6|＜

1

125

的最小正整数n是

7

．

Answer 1

分析：首先根据题意，将3a_n+1+a_n=4变形为3（a_n+1-1）=-（a_n-1），可得{a_n-1}是等比数列，结合题意，可得其前n项和公式，进而可得|S_n-n-6|=（

1

3

）ⁿ；依题意，有|S_n-n-6|＜

1

125

，解可得n＞7；进而可得答案．

解答：解：根据题意，3a_n+1+a_n=4，化简可得3（a_n+1-1）=-（a_n-1）；
则{a_n-1}是首项为a_n-1=8，公比为-

1

3

的等比数列，
进而可得s_n-n=

8[1-(- 1 3 )n]

1-(- 1 3 )

=6[1-（-

1

3

）ⁿ]，即|S_n-n-6|=6×（-

1

3

）ⁿ；
依题意，|S_n-n-6|＜6×

1

125

即（-

1

3

）ⁿ＜

1

750

，且n∈N^*，
分析可得n＞7；即满足不等式|S_n-n-6|＜

1

750

的最小正整数n是7；
故答案为7．

点评：本题考查数列的应用，解题时注意将3a_n+1+a_n=4转化为3（a_n+1-1）=-（a_n-1），进而利用等比数列的相关性质进行解题．