Question

关于x的方程a（1+i）x²+（1+a²i）x+a²+i=0 （a∈R）有实根，求a的值及方程的根．

Answer 1

分析：设x=x₀是原方程的根，则a（1+i）x₀²+（1+a²i）x₀+a²+i=0，即（ax₀²+x₀+a²）+（ax₀²+a²x₀+1）i=0
根据复数相等的条件可得

ax02+x0+a2=0  ax02+a2x0+1=0

，从而可求

解答：解：设x=x₀是原方程的根，则a（1+i）x₀²+（1+a²i）x₀+a²+i=0
即（ax₀²+x₀+a²）+（ax₀²+a²x₀+1）i=0
∴

ax02+x0+a2=0  ax02+a2x0+1=0

两式相减可得，（a²-1）x=a²-1
（1）当a²-1≠0时，x₀=1代入原方程可得，a²+a+1=0没有实根
（2）当a²-1=0时，若a=1，则x₀²+x₀+1=0没有实根
若a=-1，则x²-x-1=0，解得x0=

1± 5

2

综上可得a=-1，x=

1± 5

2

点评：本题主要考查 实系数方程的根的求解，解答的关键是根据复数相等的条件：当且仅当实部与虚部分别相等．