Question

形如的函数称为“幂指型函数”，它的求导过程可概括成：取对数——两边对求导——代入还原；例如：，取对数，对求导，代入还原；给出下列命题:
①当时，函数的导函数是；②当时，函数在上单增，在上单减；③当时，方程有根；④当时，若方程有两根，则；
其中正确的命题是           

Answer 1

①②④

解析试题分析：对①，当时，函数即为，两边取对数得，两边求导得，将代入即得；正确.
对②，当时，函数两边取对数得，两边取对数得.由得，所以在上单增，在上单减，正确；
对③，由得.令，则，所以.所以当时，有解.由得，故③错；
对④，由得.令，则.因为，所以在上单减，在上单增，.所以当时，若方程有两根.由得，.又结合图象易得，当时方程只有一个根，所以.
考点：新定义及导数的应用.