Question

已知函数f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），数列{a_n}满足a₁=2，且（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0．
（1）试探究数列{a_n-1}是否是等比数列？
（2）试证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，得（a_n-1）（4a_n+1-4a_n+a_n-1）=0，所以4a_n+1-4a_n+a_n-1=0，由此能够证明数列{a_n-1}是等比数列．
（2）由（1）知，=4[1-（）ⁿ]+n，由此能够证明．
解答：解：（1）∵f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），
∴由（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，
得4（a_n+1-a_n）（a_n-1）+（a_n-1）²=0，即（a_n-1）（4a_n+1-4a_n+a_n-1）=0，（1分）
∴a_n-1=0，或4a_n+1-4a_n+a_n-1=0，
∵a₁=2，∴a_n-1=0不合题意，舍去．
由4a_n+1-4a_n+a_n-1=0，
得4a_n+1=3a_n+1，∴，（n≥2）--------（3分）
∴=，
∴数列{a_n-1}是首项为a₁-1，公比为的等比数列．（5分）
（2）证明：由（1）知数列{a_n-1}是首项为a₁-1=1，公比为的等比数列，
∴，∴，（6分）
∴
=，（8分）
∵对?n∈N^*，有（）ⁿ，
∴1-（）ⁿ≥1-=，
∴4[1-（）ⁿ]+n≥1+n，即．（10分）
点评：本题考查等比数列的判断和不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．