Question

 (本题满分12分)

如图,在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中,AC＝3,BC＝4,,AA₁＝4,.点D是AB的中点．

       (1)求证：AC⊥BC₁；

    (2)求二面角的平面角的正切值.

Answer 1

(2)解法一:

过作于,则E为BC的中点，过E做EF^B₁C于F,连接DF,

   

是中点，∴ ，又平面

∴平面，

又平面，平面

∴ , 

∴平面，平面∴

∴是二面角的平面角 ………9分

AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，

∴在中，，，

∴           [来源:Zxxk.Com]

∴二面角的正切值为            ………12分

解法二：以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系………6分

AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，

∴， ，，，

∴，

平面的法向量，     …………………8分

设平面的法向量，

则，的夹角（或其补角）的大小就是二面角的大小

则由   令，则，

∴                                    ……………10分

，则  ………11分

∵二面角是锐二面角

∴二面角的正切值为               …………… 12分