Question

已知等差数列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，数列{b_n}的前n项的和为S_n，且Sn=

1-bn

2

(n∈N*)．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=a_n•b_n，求证：c_n+1≤c_n；
（Ⅲ）求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得，

a3+a5= 14 a3•a5= 45

且a₅＞a₃，联立方程解得a₅，a₃，进一步求出数列{a_n}通项，数列{b_n}中，利用递推公式 bn=

sn-sn-1，n≥2 s1         n=1

，
（Ⅱ）求出数列{c_n}的通项公式，作差即可证明结论；
（Ⅲ）用错位相减求数列{c_n}的前n和

解答：解：（Ⅰ）∵a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，且数列{a_n}的公差d＞0，
∴a₃=5，a₅=9，公差d=

a5-a3

5-3

=2．
∴a_n=a₅+（n-5）d=2n-1．
又当n=1时，有b1=S1=

1-b1

2

∴b1=

1

3

当n≥2时，有bn=Sn-Sn-1=

1

2

(bn-1-bn)，∴

bn

bn-1

=

1

3

(n≥2)．
∴数列{b_n}是首项b1=

1

3

，公比q=

1

3

等比数列，
∴bn=b1qn-1=

1

3n

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn=anbn=

2n-1

3n

，cn+1=

2n+1

3n+1

，
∴cn+1-cn=

2n+1

3n+1

-

2n-1

3n

=

4(1-n)

3n+1

≤0．
∴c_n+1≤c_n；
（Ⅲ）cn=anbn=

2n-1

3n

，设数列{c_n}的前n项和为T_n，∵Tn=

1

31

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

（1）∴

1

3

Tn=

1

32

+

3

33

+

5

34

+…+

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

   （2 ）        
（1）-（2）得：

2

3

Tn=

1

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

-

2n-1

3n+1

=

1

3

+2(

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

)-

2n-1

3n+1

化简得：Tn=1-

n+1

3n

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，利用递推公式求通项，体现了数学中的转化思想；一般的，若数列{a_n}为等差数列，{b_n}为等比数列，求数列{a_n•b_n}的前n和可采用错位相减法，考查分析解决问题的能力和运算能力，属中档题．