题目内容

“对任意的正整数n，不等式nlga＜（n+1）lga^a（a＞0）都成立”的一个充分不必要条件是

A.
0＜a＜1
B.
$数学公式$
C.
0＜a＜2
D.
$数学公式$ 或a＞1

B
分析：原不等式等价于a（n+1）lga-nlga＞0，当a＞1时lga＞0，a（n+1）＞n，a（n+1）lga-nlga＞0成立，当0＜a＜1时lga＜0，要使a（n+1）lga-nlga＞0成立，只需a（n+1）-n＜0成立，即a＜n/（n+1），由此知所以0＜a＜ $\text{[math]}$ ，是原不等式成立的充分不必要条件．
解答：原不等式等价于a（n+1）lga-nlga＞0，
当a＞1时lga＞0，a（n+1）＞n，a（n+1）lga-nlga＞0成立，
当0＜a＜1时lga＜0，要使a（n+1）lga-nlga＞0成立，
只需a（n+1）-n＜0成立，即a＜n/（n+1），
由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ 最小值为 $\text{[math]}$ ，
所以0＜a＜ $\text{[math]}$ ，
所以0＜a＜ $\text{[math]}$ 或a＞1是原不等式成立的充要条件
0＜a＜ $\text{[math]}$ 是原不等式成立的充分不必要条件．
故选B．
点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件的性质和应用，解题时要认真审题，注意不等式的合理运用．

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