Question

甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为

1

2

与

2

5

，投中得1分，投不中得0分．
（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；
（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；

Answer 1

分析：（I）根据题意写出甲和乙投中和不能投中的概率，甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0、1、2，结合变量对应的事件写出变量的分布列和期望．
（II）甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的事件是甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球均未命中的对立事件，根据独立重复试验和对立事件的概率写出结果．

解答：解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，
则P（A）=

1

2

，P（B）=

2

5

，P（

A

）=

1

2

，P（

B

）=

3

5

．
甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0、1、2，
则ξ概率分布为：

∴Eξ=0×

3

10

+2×

1

5

=

9

10

∴每人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为

9

10

．
（Ⅱ）“甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中”的事件是
“甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球均未命中”的事件C的对立事件，
而P（C）=

C

0 2

(

1

2

)0(

1

2

)2×

C

2 2

(

2

5

)0(

3

5

)2=

9

100

．
∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为1-P（C）=

91

100

．
即甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为

91

100

．

点评：求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．