Question

已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，又设

m

=(sinC，sinBcosA)，

n

=(b，2c)，满足

m

⊥

n

．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2

3

，c=2，求三角形ABC的面积S．

Answer 1

分析：（1）由两向量的坐标及两向量垂直，得到数量积为0，列出关系式，利用正弦定理化简，根据sinBsinC不为0求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）由a，c及cosA的值，利用余弦定理求出b的值，再由b，c及sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）∵

m

=（sinC，sinBcosA），

n

=（b，2c），且

m

⊥

n

，
∴bsinC+2csinBcosA=0，
利用正弦定理变形得：sinBsinC+2sinCsinBcosA=0，
∵sinBsinC≠0，∴1+2cosA=0，即cosA=-

1

2

，
∵A为三角形的内角，
∴A=

2π

3

；
（2）∵a=2

3

，c=2，cosA=-

1

2

，
∴由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，即12=b²+4+2b，
解得：b=2或b=-4（舍去），
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×2×

3

2

=

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．