Question

已知函数f(x)=

ax+b

x2+1

图象在x=1处的切线方程为2y-1=0．
（Ⅰ） 求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若△ABC的三个顶点（B在A、C之间）在曲线y=f（x）+ln（x-1）（x＞1）上，试探究f(2sin2A+sin2C)与f(2sin2B)的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数f（x）的解析式，利用求导法则求出导函数，根据函数图象在x=1处的切线方程为2y-1=0，得到x=1时导函数值为0，x=1时函数值为

1

2

，列出两个关于a与b的方程，联立求出a与b的值，代入确定出导函数解析式，根据导函数值的正负得到函数的增减性，根据增减性得到函数的极小值及极大值即可；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃，把第一问确定出的a与b的值代入，确定出f（x）的解析式，代入曲线方程中，并利用求导法则求出曲线解析式的导函数，根据x大于1时，确定导函数恒大于0，可得出曲线在x大于1时为增函数，则由x₁＜x₂＜x₃得：y₁＜y₂＜y₃，利用平面向量的数量积运算法则表示出

BA

•

BC

，得到其值小于0，可得出B为钝角，利用余弦定理表示出cosB，根据B为钝角可得出cosB小于0，整理后得到a²+c²＜b²，再利用正弦定理化简得到sin²A+sin²C＜sin²B，根据f（x）是（1，+∞）上的增函数，可得出f(2sin2A+sin2C)与f(2sin2B)的大小关系．

解答：解：（Ⅰ）求导得：f′（x）=

-ax2-2bx+a

(x2+1)2

，
由题意得：f′（1）=0，f（1）=

1

2

，
∴

-a-2b+a

4

=0，

a+b

2

=

1

2

，
解得a=1，b=0，…（3分）
∴由f′（x）=-

(x-1)(x+1)

(x2+1)2

＞0，解得：x＜-1或x＞1；
由f′（x）=-

(x-1)(x+1)

(x2+1)2

＜0，解得：-1＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-1）或（1，+∞）上是减函数，在（-1，1）上是增函数，
则f（x）的极小值为f（-1）=-

1

2

，f（x）的极大值为f（1）=

1

2

；…（6分）
（Ⅱ） 设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃，
y=f（x）+ln（x-1）=

x

x2+1

+ln（x-1）（x＞1），
∴y'=

x4-x3+3x2+x

x(x2+1)2

＞0，
∴函数在（1，+∞）上单调递增，
由x₁＜x₂＜x₃得：y₁＜y₂＜y₃，…（9分）
∵

BA

•

BC

=（x₁-x₂）（x₃-x₂）+（y₁-y₂）（y₃-y₂）＜0，
∴B是钝角，
由余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

＜0，即a²+c²＜b²，
由正弦定理得：sin²A+sin²C＜sin²B，
则2sin2B＞2sin2A+sin2C＞1，
又∵f（x）是（1，+∞）上的增函数，
∴f(2sin2B)＞f(2sin2A+sin2C)．…（14分）

点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算法则，利用导数研究曲线上某点的切线方程，以及利用导数研究函数的极值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．