Question

在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,△ABC的外接圆半径R=,且满足.

(1)求角B和边b的大小;

(2)求△ABC的面积的最大值.

Answer 1

思路解析:此题主要考查三角公式的变换及正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式.求角B要对进行化简,得出B的关系式,求出B再用正弦定理由R=求b,求三角形面积最大值要利用公式S_△ABC=acsinB先求ac的范围.而要求ac的范围结合b已求出,要用到余弦定理来求.

解:(1)由已知,

整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB,即sin(B+C)=2sinAcosB.

∵A+B+C=180°,∴sin(B+C)=sinA.

∴sinA=2sinAcosB.

又∵sinA≠0,∴cosB=.∴B=60°.

∵R=,∴b=2RsinB=2sin60°=3.

∴B=60°,b=3.

(2)由余弦定理,得b²=a²+c²-2accosB,

即9=a²+c²-2accos60°.

∴9+ac=a²+c²≥2ac(当a=c时,取“=”),

即ac≤9(当a=c=3时,取“=”).

∴S_△ABC=acsinB≤×9×sin60°=,

△ABC的面积的最大值为.