题目内容

已知函数f（x）在定义域（0．+∞）上是单调函数，若对于任意x∈（0，+∞），都有f（f（x）-
1
x
）=2，则f（
1
5
）的值是（　　）
A．5B．6C．7D．8
∵函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，
且f（f（x）-
1
x
）=2，
∴f（x）-
1
x
为一个常数，
令这个常数为n，则有f（x）-
1
x
=n，①
f（n）=2，②
由①得 f（x）=n+
1
x
，③
②代入③，得n+
1
n
=2，
解得n=1，
因此f（x）=1+
1
x
，
所以f（
1
5
）=6．
故选B．
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精英家教网已知函数f（x）=x3+x2，数列|xn|（xn＞0）的第一项xn=1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f（x）在（xn+1，f（xn+1））处的切线与经过（0，0）和（xn，f （xn））两点的直线平行（如图）．
求证：当n∈N*时，
（Ⅰ）xn2+xn=3xn+12+2xn+1；
（Ⅱ）(
1
2
)n-1≤xn≤(
1
2
)n-2．
已知函数f（x）=x3-x，其图象记为曲线C．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1，f（x1））处的切线交于另一点P2（x2，f（x2）），曲线C与其在点P2（x2，f（x2））处的切线交于另一点P3（x3，f（x3）），线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则
S1S2
为定值．
下列说法正确的有（　　）个．
①已知函数f（x）在（a，b）内可导，若f（x）在（a，b）内单调递增，则对任意的?x∈（a，b），有f′（x）＞0．
②函数f（x）图象在点P处的切线存在，则函数f（x）在点P处的导数存在；反之若函数f（x）在点P处的导数存在，则函数f（x）图象在点P处的切线存在．
③因为3＞2，所以3+i＞2+i，其中i为虚数单位．
④定积分定义可以分为：分割、近似代替、求和、取极限四步，对求和In=
n
i=1
f(ξi)△x中ξi的选取是任意的，且In仅于n有关．
⑤已知2i-3是方程2x2+px+q=0的一个根，则实数p，q的值分别是12，26．
已知函数f（x）=ax+
bx-1
-a（a∈R，a≠0）在x=3处的切线方程为（2a-1）x-2y+3=0
（1）若g（x）=f（x+1），求证：曲线g（x）上的任意一点处的切线与直线x=0和直线y=ax围成的三角形面积为定值；
（2）若f（3）=3，是否存在实数m，k，使得f（x）+f（m-x）=k对于定义域内的任意x都成立；
（3）若方程f（x）=t（x2-2x+3）|x|有三个解，求实数t的取值范围．
下列说法正确的有（ ）个．
①已知函数f（x）在（a，b）内可导，若f（x）在（a，b）内单调递增，则对任意的?x∈（a，b），有f′（x）＞0．
②函数f（x）图象在点P处的切线存在，则函数f（x）在点P处的导数存在；反之若函数f（x）在点P处的导数存在，则函数f（x）图象在点P处的切线存在．
③因为3＞2，所以3+i＞2+i，其中i为虚数单位．
④定积分定义可以分为：分割、近似代替、求和、取极限四步，对求和中ξi的选取是任意的，且In仅于n有关．
⑤已知2i-3是方程2x2+px+q=0的一个根，则实数p，q的值分别是12，26．
A．0
B．1
C．3
D．4

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