Question

已知数列{a_n}满足：a₁＝1，a_n＋1＝a_n＋(n∈N^*).

   （1）求数列{a_n}的通项公式；   （2）证明：≤a_n≤1；

   （3）设T_n＝a_n，且k_n＝ln(1＋T_n)＋T，证明：<.

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)见解析  （Ⅲ）见解析 

解析:

（1）由，得令，有  

∴＝  ＝

    又b₁＝2a₁＝2，（3分）∴

    ∴（4分）

   （2）证法1：（数学归纳法）

1°，当n＝1时，a₁＝1，满足不等式（5分）

2°，假设n＝k（k≥1，k∈N*）时结论成立

即，那么 

即（7分）又

由1°，2°可知，n∈N*，都有成立（9分）

   （3）证法2：由⑴知：　　　

∵，，∴  ∵ 

    ∵

    ∴  ∴

    当n＝1时，，综上

   （2）证法3：    

    ∴为递减数列    当n＝1时，a_n取最大值　　∴a_n≤1

    由（1）中知　 综上可知

   （3）

    欲证：即证 （12分）

    即ln（1＋T_n）－T_n＜0，构造函数f （x）＝ln（1＋x）－x

    ∵当x＞0时，f ' （x）＜0   ∴函数y＝f （x）在（0，＋∞）内递减

    ∴f （x）在[0，＋∞]内的最大值为f （0）＝0

    ∴当x≥0时，ln（1＋x）－x≤0又∵T_n＞0，∴ln（1＋T_n）－T_n＜0   

    ∴不等式成立（12分）