Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosA=bcosB．
（1）试判断△ABC的形状；
（2）若△ABC的面积为

3

，且tanC+

2csinA

a

=0，求a．

Answer 1

分析：（1）由余弦定理利用条件acosA=bcosB可得a=b或c²=a²+b²，从而得到△ABC为等腰三角形或直角三角形．
（2）由tanC+

2csinA

a

=0及正弦定理求得cosC=-

1

2

，从而得到C=

2π

3

，进一步确定△ABC必为等腰三角形，根据
△ABC的面积S=

1

2

absinC 求出结果．

解答：解：（1）由余弦定理得acosA=bcosB可知a•

b2+c2-a2

2bc

=b•

a2+c2-b2

2ac

，
所以a²（b²+c²-a²）=b²（a²+c²-b²），
即（a²-b²）c²=（a²-b²）（a²+b²），（3分）
所以（a²-b²）（c²-a²-b²）=0，所以a=b或c²=a²+b²，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．（6分）
（2）由tanC+

2csinA

a

=0及正弦定理可得

sinC

cosC

+2sinC=0，
而sinC＞0，所以cosC=-

1

2

，所以C=

2π

3

，（8分）
结合（1）可知△ABC必为等腰三角形，且A=B=

π

6

，
故△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

a2•

3

2

=

3

，
所以a=2．（12分）

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形的内角和公式，判断三角形的形状的方法，属于中档题．