Question

在二项式(

3	x

-

1

2 3 x

)n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列
（1）求n的值；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求展开式中项的系数最大的项．

Answer 1

分析：（1）前三项系数的绝对值成等差数列，可得 

C

0 n

+

1

4

C

2 n

=2•

1

2

C

1 n

，由此解得 n的值．
（2）由于第r+1项的二项式系数为

C

r 8

，故当r=4时，二项式系数最大，由此求得二项式系数最大的项．
（3）研究系数绝对值即可，

C r 8 ( 1 2 )r≥ C r+1 8 ( 1 2 )r+1 C r 8 ( 1 2 )r≥ C r-1 8 ( 1 2 )r-1

，解得2≤r≤3，结合通项公式可得第三项的系数最大．

解答：解：（1）二项式(

3	x

-

1

2 3 x

)n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列，
∴

C

0 n

+

1

4

C

2 n

=2•

1

2

C

1 n

，即 n²-9n+8=0，解得 n=8；
（2）由于第r+1项的二项式系数为

C

r 8

，故当r=4时，二项式系数最大，故二项式系数最大的项为
T5=

C

4 8

•(-

1

2

)4=

35

8

．
（3）先研究系数绝对值即可，

C r 8 ( 1 2 )r≥ C r+1 8 ( 1 2 )r+1 C r 8 ( 1 2 )r≥ C r-1 8 ( 1 2 )r-1

，解得2≤r≤3，
故系数最大的项为第三项，即T3=7x

4

3

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数、二项式的系数的定义和性质，属于中档题．