Question

已知函数，。

   （1）求证：函数与的图象恒有公共点；

（2）当时，若函数图象上任一点处切线斜率均小于，求实数的取值范围；

（3）当时，关于的不等式的解集为空集，求所有满足条件的实数的值。

Answer 1

（1）即证有实根，也就是方程有非负实数根。

        而，，∴方程恒有正根，

        ∴与的图象恒有公共点。

（2）由题设知时， 恒成立，即。

而在上单调递增，∴，∴的取值范围为

。

（3）由题设知，当时，恒成立，记。

若，则，不满足条件，故。

而，

当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

于是，∴。

当，即时，在上单调递减，

于是，矛盾。

综上所述：。