Question

某同学在研究函数y=f（x）（x≥1，x∈N）的性质，他已经正确地证明了函数f（x）满足：f（3x）=3f（x），
并且当1≤x≤3时，f（x）=[1-|x-2|]，这样对任意x≥1，他都可以求f（x）的值了，比如f（3×

8

3

）=3f（

8

3

）=3[1-|

8

3

-2|]=1，f（54）=3³f（

54

33

）=27，请你根据以上信息，求出集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素是

 

．

Answer 1

分析：由f（3x）=3f（x）将f（99）递推下去求得18，再利用f（3x）=3f（x）递推得到f（x）=3³f（

x

27

）=27[1-|

x

27

-2|]=18，然后分类讨论去绝对值求解．

解答：解：根据题意：f（99）=3f（33）=3²f（11）=3³f（

11

3

）=3⁴f（

11

9

）=81[1-|

11

9

-2|]=18
∴f（x）=3³f（

x

27

）=27[1-|

x

27

-2|]=18
当1≤

x

27

＜2时，27×[

x

27

-1]=18解得：x=45
当2≤

x

27

≤ 3时，27×[3-

x

27

]=18解得x=63
∴集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素是 45
故答案为：45

点评：本题是一定义题，要严格按照题目要求转化为已知的问题去解决，本题涉及到定义及绝对值方程的求法．