题目内容
设函数f（x）=x2-2x+1+alnx有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，则（ ）
分析：对f（x）求导数，由f′（x）=0有两个不同的根x1，x2，利用判别式和根与系数的关系求a的取值范围；由x1、x2的关系，用x2把a表示出来，求出f（x2）表达式的最值即可．
解答：解：∵f（x）=x2-2x+1+alnx的定义域为（0，+∞）．
∴f′（x）=2x-2+
=
，
∵f（x）有两个极值点x1，x2，
∴f′（x）=0有两个不同的根x1，x2，且0＜x1＜x2，
∴2x2-2x+a=0的判别式△=4-8a＞0，即a＜
，
∴x1=
，x2=
． ①
又∵x1+x2=1，x1•x2=
＞0，
∴
＜x2＜1，a=2x2-2x22，
∴f（x2）=x22-2x2+1+（2x2-2x22）lnx2．
令g（t）=t2-2t+1+（2t-2t2）lnt，其中
＜t＜1，
则g′（t）=2（1-2t）lnt．
当t∈（
，1）时，g′（t）＞0，
∴g（t）在（
，1）上是增函数．
∴g（t）＞g（
）=
．
故f（x2）=g（x2）＞
．
故选：C．
∴f′（x）=2x-2+
| a |
| x |
| 2x2-2x+a |
| x |
∵f（x）有两个极值点x1，x2，
∴f′（x）=0有两个不同的根x1，x2，且0＜x1＜x2，
∴2x2-2x+a=0的判别式△=4-8a＞0，即a＜
| 1 |
| 2 |
∴x1=
1-
| ||
| 2 |
1+
| ||
| 2 |
又∵x1+x2=1，x1•x2=
| a |
| 2 |
∴
| 1 |
| 2 |
∴f（x2）=x22-2x2+1+（2x2-2x22）lnx2．
令g（t）=t2-2t+1+（2t-2t2）lnt，其中
| 1 |
| 2 |
则g′（t）=2（1-2t）lnt．
当t∈（
| 1 |
| 2 |
∴g（t）在（
| 1 |
| 2 |
∴g（t）＞g（
| 1 |
| 2 |
| 1-2ln2 |
| 4 |
故f（x2）=g（x2）＞
| 1-2ln2 |
| 4 |
故选：C．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值以及利用导数证明不等式成立的问题，是易错题．
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