Question

如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD垂直于底面ABCD，∠ADC=∠BCD=90°，PA=PD=AD=2BC=2，CD，M在棱PC上，N是AD的中点，二面角M-BN-C为30°。

（1）求的值；
（2）求直线PB与平面BMN所成角的大小。

Answer 1

解：（1）作ME∥CD，ME∩PD=E ∵∠ADC=∠BCD=90°，AD=2BC=2，N是AD的中点， ∴BN⊥AD， 又平面PAD⊥平面ABCD， ∴BN⊥平面PAD， ∴BN⊥NE，∠DNE为二面角M-BN-C的平面角，∠DNE=30° ∵PA=PD=AD， ∴∠PDN=60°， ∴∠DEN=90°， ∴DE=DP ∴CM=CP， 故=3。 （2）连结BE，由（1）的解答可知PE⊥平面BMN，则∠PBE为直线PB与平面BMN所成的角 连结PN，则PN⊥平面ABCD，从而PN⊥BN， ∴PB=== 又 ∴ 所以直线PB与平面MBN所成的角为。