Question

已知函数f（x）=|x-3|+|x-4|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；
（Ⅱ）如果f（x）≤a的解集不是空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分x＜3时、3≤x≤4时和x＞4时3种情况加以讨论，分别得到f（x）的表达式，再解不等式f（x）≥2，最后综合可得所求的解集；
（2）由（1）的讨论，得f（x）的最小值为1，而f（x）≤a解集不空，得f（x）的最小值小于或等于a，由此不难得到实数a的取值范围．

解答：解：（1）当x＜3时，f（x）=3-x+（4-x）=7-2x
不等式f（x）≥2即7-2x≥2，解之得x≤

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2

；
当3≤x≤4时，f（x）=x-3+（4-x）=1，不等式f（x）≥2的解集为空集；
当x＞4时，f（x）=x-3+（x-4）=2x-7，
不等式f（x）≥2即2x-7≥2，解之得x≥

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2

综上所述，原不等式的解集为(-∞，

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2

]∪[

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2

，+∞)；
（2）f（x）≤a的解集不是空集，即f（x）的最小值小于或等于a，
由（1）可得f（x）=

7-2x   x＜3 1         3≤x≤4 2x-7     x＞4

由此可得f（x）在（-∞，3）上是减函数，在[3.4]上是常数1，
在区间（4，∞）上是增函数．
∴函数f（x）的最小值为1，
由此可得a≥1，即实数a的取值范围为[1，+∞）

点评：本题给出含有绝对值的函数，解关于x的不等式并讨论不等式解集非空时参数a的取值范围，着重考查了绝对值的含义、不等式的解法和函数的单调性等知识，属于中档题．