Question

曲线f(x)=

1

3

x3-

3

x的切线的倾斜角范围为

[0，

π

2

)∪[

2π

3

，π)

．

Answer 1

分析：根据函数f(x)=

1

3

x3-

3

x的导数为 y′≥-

3

，故有切线的倾斜角θ满足tanθ≥-

3

，且 0≤θ＜π，由此求出
倾斜角θ范围．

解答：解：由于函数f(x)=

1

3

x3-

3

x的导数为 y′=x2-

3

≥-

3

，
设曲线f(x)=

1

3

x3-

3

x的切线的倾斜角为θ，
则有 tanθ≥-

3

，且 0≤θ＜π，∴0≤θ＜

π

2

，或 π＞θ≥

2π

3

，
故答案为 [0，

π

2

)∪[

2π

3

，π)．

点评：本题主要考查利用导数求曲线的切线斜率，直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，属于基础题．